正文 第1节
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卷一
○方田以御田畴界域
今有田广十五步，从十六步。问为田几何答曰：一亩。
又有田广十二步，从十四步。问为田几何答曰：一百六十八步。
〔图：从十四，广十二。〕
方田术曰：广从步数相乘得积步。
〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。
淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义
同。以理推之，固当不尔。何则幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名
责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者
举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之
本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存
善去非，略为料简，遗诸后学。〕
以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。
〔淳风等按：此为篇端，故特举顷c亩二法。余术不复言者，从此可知。一
亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而
截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，
凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。
二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕
今有田广一里，从一里。问为田几何答曰：三顷七十五亩。
又有田广二里，从三里。问为田几何答曰：二十二顷五十亩。
里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。
〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即
得亩数也。〕
今有十八分之十二，问约之得几何答曰：三分之二。
又有九十一分之四十九，问约之得几何答曰：十三分之七。
○约分
〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。
设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则
异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕
术曰：可半者半之；不可半者，副置分母c子之数，以少减多，更相减损，
求其等也。以等数约之。
〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕
今有三分之一，五分之二，问合之得几何答曰：十五分之十一。
又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何答曰：得一c六十三
分之五十。
又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何答曰：得
二c六十分之四十三。
○合分
〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细
既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕
术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。
〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，
然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母
互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，
势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通
体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错
综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同
以通之，此其算之纲纪乎其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕
实如法而一。不满法者，以法命之。
〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得
知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕
其母同者，直相从之。
今有九分之八，减其五分之一，问余几何答曰：四十五分之三十一。
又有四分之三，减其三分之一，问余几何答曰：十二分之五。
○减分
〔淳风等按：诸分子c母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰
减分。〕
术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。
〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者，
同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕
今有八分之五，二十五分之十六，问孰多多几何答曰：二十五分之十六
多，多二百分之三。
又有九分之八，七分之六，问孰多多几何答曰：九分之八多，多六十三
分之二。
又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多多几何答曰：二十一分之八
多，多一千五十分之四十三。
○课分
〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕
术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。
〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意
与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕
今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平答曰：减
四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。
又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平答曰：减
三分之二者一，四分之三者四c并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。
○平分
〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平
分也。〕
术曰：母互乘子，
〔齐其子也。〕
副并为平实。
〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，
限为平。〕
母相乘为法。
〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕
以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。
〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。
淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三
重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕
以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。
今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何答曰：人得一钱二十一分钱之
四。
又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一c四分钱之三。问人得几何答曰：
人得二钱八分钱之一。
○经分
〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以
人数分所分，故曰经分也。〕
术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。
〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。
乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，
自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令
两分母相乘法实也。〕
重有分者同而通之。
〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法c实俱有分，故令分母各乘全分内
子，又令分母互乘上下。〕
今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何答曰：三十五分步之十
二。
又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何答曰：十一分步之七。
又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何答曰：九分步之四。
○乘分
〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕
术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。
〔凡实不满法者而有母c子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃
为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各
当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十
匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何答曰：三十五分斤
之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五
匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何答曰：人得三十五分斤之十
二。其为之也，当齐其金c人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者，
犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求
齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之
三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则
三术同归也。〕
今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何答曰：十八步。
又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何答曰：一百
二十步九分步之五。
又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何答曰：
一亩二百步十一分步之七。
○大广田
〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步；
此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕
术曰：分母各乘其全，分子从之，
〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母c子皆为实矣。〕
相乘为实。分母相乘为法。
〔犹乘分也。〕
实如法而一。
〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘
为法而连除之。〕
今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何答曰：一百二十六步。
又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何答曰：二十
三步六分步之五。
术曰：半广以乘正从。
〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中
平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕
今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何
答曰：九亩一百四十四步。
又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何
答曰：二十三亩七十步。
术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。
〔并而半之者，以盈补虚也。〕
今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何答曰：一亩
一百三十五步。
又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几
何答曰：四十六亩二百三十二步半。
术曰：并踵c舌而半之，以乘正从。亩法而一。
〔中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵c舌，半正从，以乘之。〕
今有圆田，周三十步，径十步。
〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径
九步十一分步之六。〕
问为田几何答曰：七十五步。
〔此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。
淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。〕
又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。
〔淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率，
径五十七步二十二分步之一十三。〕
问为田几何答曰：十一亩九十步十二分步之一。
〔此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。
淳风等按：依密率，当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕
术曰：半周半径相乘得积步。
〔按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容
六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。
又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，
次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥
少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。
以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，
则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。
此一周c径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推
圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。
不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可
知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故
置诸检括，谨详其记注焉。
割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令
半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸，
开方除之，下至秒c忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分
母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余
一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之
求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。
开方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上
小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，
即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之
四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小
股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分
弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上
小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即
句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之
四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小
股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。
开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一
尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除
之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。
割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次
上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句
幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。
以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。
为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除
之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺
乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，
得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六
觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，
即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，
得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十
二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之，
得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五
十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。
案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其
中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五
十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律
嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六
百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微
少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此
分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸
之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得
五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方
幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺
二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五
十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，
上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，
数亦宜然，重其验耳。
淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。
用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则假令六觚之田，觚间各一尺为面，
自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓，
今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使
锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之
径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆
一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。
径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张
其率。但周c径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以
其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非
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卷一
○方田以御田畴界域
今有田广十五步，从十六步。问为田几何答曰：一亩。
又有田广十二步，从十四步。问为田几何答曰：一百六十八步。
〔图：从十四，广十二。〕
方田术曰：广从步数相乘得积步。
〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。
淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义
同。以理推之，固当不尔。何则幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名
责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者
举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之
本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存
善去非，略为料简，遗诸后学。〕
以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。
〔淳风等按：此为篇端，故特举顷c亩二法。余术不复言者，从此可知。一
亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而
截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，
凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。
二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕
今有田广一里，从一里。问为田几何答曰：三顷七十五亩。
又有田广二里，从三里。问为田几何答曰：二十二顷五十亩。
里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。
〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即
得亩数也。〕
今有十八分之十二，问约之得几何答曰：三分之二。
又有九十一分之四十九，问约之得几何答曰：十三分之七。
○约分
〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。
设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则
异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕
术曰：可半者半之；不可半者，副置分母c子之数，以少减多，更相减损，
求其等也。以等数约之。
〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕
今有三分之一，五分之二，问合之得几何答曰：十五分之十一。
又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何答曰：得一c六十三
分之五十。
又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何答曰：得
二c六十分之四十三。
○合分
〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细
既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕
术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。
〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，
然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母
互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，
势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通
体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错
综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同
以通之，此其算之纲纪乎其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕
实如法而一。不满法者，以法命之。
〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得
知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕
其母同者，直相从之。
今有九分之八，减其五分之一，问余几何答曰：四十五分之三十一。
又有四分之三，减其三分之一，问余几何答曰：十二分之五。
○减分
〔淳风等按：诸分子c母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰
减分。〕
术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。
〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者，
同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕
今有八分之五，二十五分之十六，问孰多多几何答曰：二十五分之十六
多，多二百分之三。
又有九分之八，七分之六，问孰多多几何答曰：九分之八多，多六十三
分之二。
又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多多几何答曰：二十一分之八
多，多一千五十分之四十三。
○课分
〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕
术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。
〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意
与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕
今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平答曰：减
四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。
又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平答曰：减
三分之二者一，四分之三者四c并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。
○平分
〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平
分也。〕
术曰：母互乘子，
〔齐其子也。〕
副并为平实。
〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，
限为平。〕
母相乘为法。
〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕
以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。
〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。
淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三
重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕
以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。
今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何答曰：人得一钱二十一分钱之
四。
又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一c四分钱之三。问人得几何答曰：
人得二钱八分钱之一。
○经分
〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以
人数分所分，故曰经分也。〕
术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。
〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。
乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，
自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令
两分母相乘法实也。〕
重有分者同而通之。
〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法c实俱有分，故令分母各乘全分内
子，又令分母互乘上下。〕
今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何答曰：三十五分步之十
二。
又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何答曰：十一分步之七。
又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何答曰：九分步之四。
○乘分
〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕
术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。
〔凡实不满法者而有母c子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃
为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各
当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十
匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何答曰：三十五分斤
之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五
匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何答曰：人得三十五分斤之十
二。其为之也，当齐其金c人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者，
犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求
齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之
三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则
三术同归也。〕
今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何答曰：十八步。
又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何答曰：一百
二十步九分步之五。
又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何答曰：
一亩二百步十一分步之七。
○大广田
〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步；
此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕
术曰：分母各乘其全，分子从之，
〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母c子皆为实矣。〕
相乘为实。分母相乘为法。
〔犹乘分也。〕
实如法而一。
〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘
为法而连除之。〕
今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何答曰：一百二十六步。
又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何答曰：二十
三步六分步之五。
术曰：半广以乘正从。
〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中
平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕
今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何
答曰：九亩一百四十四步。
又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何
答曰：二十三亩七十步。
术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。
〔并而半之者，以盈补虚也。〕
今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何答曰：一亩
一百三十五步。
又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几
何答曰：四十六亩二百三十二步半。
术曰：并踵c舌而半之，以乘正从。亩法而一。
〔中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵c舌，半正从，以乘之。〕
今有圆田，周三十步，径十步。
〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径
九步十一分步之六。〕
问为田几何答曰：七十五步。
〔此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。
淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。〕
又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。
〔淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率，
径五十七步二十二分步之一十三。〕
问为田几何答曰：十一亩九十步十二分步之一。
〔此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。
淳风等按：依密率，当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕
术曰：半周半径相乘得积步。
〔按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容
六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。
又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，
次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥
少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。
以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，
则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。
此一周c径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推
圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。
不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可
知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故
置诸检括，谨详其记注焉。
割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令
半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸，
开方除之，下至秒c忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分
母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余
一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之
求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。
开方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上
小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，
即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之
四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小
股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分
弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上
小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即
句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之
四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小
股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。
开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一
尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除
之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。
割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次
上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句
幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。
以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。
为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除
之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺
乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，
得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六
觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，
即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，
得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十
二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之，
得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五
十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。
案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其
中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五
十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律
嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六
百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微
少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此
分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸
之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得
五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方
幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺
二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五
十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，
上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，
数亦宜然，重其验耳。
淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。
用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则假令六觚之田，觚间各一尺为面，
自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓，
今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使
锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之
径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆
一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。
径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张
其率。但周c径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以
其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非
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